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中考数学|动点问题中最值、最短路径问题专项讲解+例题解析, 冲刺

中考数学中动点问题的考察是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数字数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中,也是大家最为害怕的部分,不仅花费大量的时间,而且得到的收获也比较的少。

其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想),本专题唐老师以几个基本的知识点为基础,借助历年来中考真题解析,由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.

一、基础知识点综述

1. 两点之间,线段最短;

2. 垂线段最短;

3. 若AB是平面直角坐标系内两定点,P是某直线上一动点,当PAB在一条直线上时,|PA-PB|最大,最大值为线段AB的长(如下图所示);

4. 最短路径模型

(1)单动点模型

作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示,Px轴上一动点,求PA+PB的最小值的作图.

(2)双动点模型

P是∠AOB内一点,MN分别是边OAOB上动点,求作△PMN周长最小值.

作图方法:作已知点P关于动点所在直线OAOB的对称点P’、P’’,连接PP’’与动点所在直线的交点MN即为所求.

5. 二次函数的最大(小)值

在二次函数的顶点式中,当a >0时,y有最小值k;当a<0时,y有最大值k.

二、主要的方法归纳

利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. (详见经典例题解析)

三、经典例题解析

例1. (2019·凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点PBC上运动(不与BC重合),过点PPQEP,交CD于点Q,则CQ的最大值为

解:∵PQEP

∴∠EPQ=90°,即∠EPB+∠QPC=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=∠C=90°,∠EPB+∠BEP=90°,

∴∠BEP=∠QPC

∴△BEP∽△CPQ

此题为“一线三直角模型”,解题方法为相似三角形性质求解,综合利用二次函数的性质求解最值问题.

例2.(2019·自贡)如图,已知AB两点的坐标分别为(8,0),(0,8). 点CF分别是直线x=-5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接ADy轴于点E,当△ABE面积取最小值时,tanBAD=( )

由图可知:当AD与圆G相切时,BE的长度最小,如下图,

此题解题的关键是找到△ABE面积最小时即是ADD的运动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD为内角的直角三角形,利用勾股定理求出边长,代入三角函数定义求解.

总结:中考复习最后的冲刺阶段,对于压轴题的专项突破不仅难度大,而且知识点之间的联系更为紧密,所以同学们要注重知识点间的综合运用,动点问题涉及的内容较为复杂,但是想要拉开差距,就是大家的必修课,加油吧!

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