首先，需要明确双曲线的渐近线是由双曲线的焦点出发，向双曲线两侧无限延伸的直线。渐近线的斜率（即直线的倾斜角）与双曲线的实轴长度和虚轴长度有关。
渐近线的斜率可以通过双曲线的实轴长度a和虚轴长度b来计算。
利用渐近线判断双曲线的形状和大小：
形状：渐近线的斜率决定了双曲线的形状。如果渐近线与x轴的夹角接近90度，则双曲线更“扁平”；如果夹角接近0度或180度，则双曲线更“瘦高”。
大小：实轴长度a和虚轴长度b决定了双曲线的大小。a和b越大，双曲线占据的面积越大；反之，则面积越小。
什么是双曲线？
双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。双曲线有两条过中心的渐近线，准线与实轴垂直等等。
双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一，其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况。如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
双曲线的几何性质分为两大类，位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点：焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直等等。
在双曲线的渐近线中，如何找到与焦点距离最短的点？
第一步，根据双曲线的性质，我们知道双曲线的焦点到任一点P的距离减去该点到相应渐近线的距离是一个定值，这个定值等于两倍的半轴长，即 c−a。
第二步，设双曲线的焦点为F，任一点为P，连接PF，与渐近线交于点A。根据第一步，我们有 ∣PF∣−∣PA∣=c−a。
第三步，根据三角形不等式，对于任意三角形，任意两边之差小于第三边。在这里，我们有 ∣PF∣−∣PA∣<∣AF∣。
第四步，由第三步的结论，我们得到 ∣AF∣>c−a。因此，当点A与F重合时，即点P位于与焦点F距离最短的点上。
综上，我们找到了双曲线的渐近线中与焦点距离最短的点，该点是双曲线的顶点。
